Trigonometry: Reduction formulae

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Free High School Science Texts Project
Objectives 
Students will learn the reduction formulae.
Students will apply formulae to functions.
Procedure 

Reduction Formula

Any trigonometric function whose argument is 90∘±θ, 180∘±θ, 270∘±θ and 360∘±θ (hence −θ) can be written simply in terms of θ. For example, you may have noticed that the cosine graph is identical to the sine graph except for a phase shift of 90∘. From this we may expect that sin(90∘+θ)=cosθ.

 

Function Values of 180∘±θ

Investigation : Reduction Formulae for Function Values of 180∘±θ

Function Values of (180∘−θ)

In the figure P and P' lie on the circle with radius 2. OP makes an angle θ=30∘ with the x-axis. P thus has coordinates (3√;1). If P' is the reflection of P about the y-axis (or the line x=0), use symmetry to write down the coordinates of P'.

Write down values for sinθ, cosθ and tanθ.

Using the coordinates for P' determine sin(180∘−θ), cos(180∘−θ) and tan(180∘−θ).

 

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(d): From your results try and determine a relationship between the function values of (180∘−θ) and θ.

Function values of (180∘+θ)

In the figure P and P' lie on the circle with radius 2. OP makes an angle θ=30∘ with the x-axis. P thus has coordinates (3√;1). P' is the inversion of P through the origin (reflection about both the x- and y-axes) and lies at an angle of 180∘+θ with the x-axis. Write down the coordinates of P'.

Using the coordinates for P' determine sin(180∘+θ), cos(180∘+θ) and tan(180∘+θ).

From your results try and determine a relationship between the function values of (180∘+θ) and θ.

 

http://cnx.org/content/m38870/latest/MG11C17_024.png

 

Investigation : Reduction Formulae for Function Values of 360∘±θ

Function values of (360∘−θ)

In the figure P and P' lie on the circle with radius 2. OP makes an angle θ=30∘ with the x-axis. P thus has coordinates (3√;1). P' is the reflection of P about the x-axis or the line y=0. Using symmetry, write down the coordinates of P'.

Using the coordinates for P' determine sin(360∘−θ), cos(360∘−θ) and tan(360∘−θ).

From your results try and determine a relationship between the function values of (360∘−θ) and θ.

 

http://cnx.org/content/m38870/latest/MG11C17_025.png

 

It is possible to have an angle which is larger than 360∘. The angle completes one revolution to give 360∘ and then continues to give the required angle. We get the following results:

sin(360∘+θ) =sinθ

cos(360∘+θ) =cosθ

tan(360∘+θ)= tanθ

Note also, that if k is any integer, then

sin(k360∘+θ) =sinθ

cos(k360∘+θ) =cosθ

tan(k360∘+θ) =tanθ

(2)

EXERCISE 1: Basic use of a reduction formula

Write sin293∘ as the function of an acute angle.

[ SHOW SOLUTION ]

EXERCISE 2: More complicated...

Evaluate without using a calculator:

tan2210∘−(1+cos120∘)sin2225∘

(5)

[ SHOW SOLUTION ]

Reduction Formulae

  1. Write these equations as a function of θ only:
    1. sin(180∘−θ)
    2. cos(180∘−θ)
    3. cos(360∘−θ)
    4. cos(360∘+θ)
    5. tan(180∘−θ)
    6. cos(360∘+θ)
  2. Write the following trig functions as a function of an acute angle:
    1. sin163∘
    2. cos327∘
    3. tan248∘
    4. cos213∘
  3. Determine the following without the use of a calculator:
    1. tan150∘.sin30∘+cos330∘
    2. tan300∘.cos120∘
    3. (1−cos30∘)(1−sin210∘)
    4. cos780∘+sin315∘.tan420∘
  4. Determine the following by reducing to an acute angle and using special angles. Do not use a calculator:
    1. cos300∘
    2. sin135∘
    3. cos150∘
    4. tan330∘
    5. sin120∘
    6. tan2225∘
    7. cos315∘
    8. sin2420∘
    9. tan405∘
    10. cos1020∘
    11. tan2135∘
    12. 1−sin2210∘

Function Values of (−θ)

When the argument of a trigonometric function is (−θ) we can add 360∘ without changing the result. Thus for sine and cosine

sin(−θ)=sin(360∘−θ)=−sinθ

(7)

cos(−θ)=cos(360∘−θ)=cosθ

(8)

Function Values of 90∘±θ

Investigation : Reduction Formulae for Function Values of 90∘±θ

  1. Function values of (90∘−θ)
    1. In the figure P and P' lie on the circle with radius 2. OP makes an angle θ=30∘ with the x-axis. P thus has coordinates (3√;1). P' is the reflection of P about the line y=x. Using symmetry, write down the coordinates of P'.
    2. Using the coordinates for P' determine sin(90∘−θ), cos(90∘−θ) and tan(90∘−θ).
    3. From your results try and determine a relationship between the function values of (90∘−θ) and θ.

 

http://cnx.org/content/m38870/latest/MG11C17_026.png

 

Function values of (90∘+θ)

In the figure P and P' lie on the circle with radius 2. OP makes an angle θ=30∘ with the x-axis. P thus has coordinates (3√;1). P' is the rotation of P through 90∘. Using symmetry, write down the coordinates of P'. (Hint: consider P' as the reflection of P about the line y=x followed by a reflection about the y-axis)

Using the coordinates for P' determine sin(90∘+θ), cos(90∘+θ) and tan(90∘+θ).

From your results try and determine a relationship between the function values of (90∘+θ) and θ.

 

http://cnx.org/content/m38870/latest/MG11C17_027.png

 

Complementary angles are positive acute angles that add up to 90∘. e.g. 20∘ and 70∘ are complementary angles.

Sine and cosine are known as co-functions. Two functions are called co-functions if f(A)=g(B) whenever A+B=90∘ (i.e. A and B are complementary angles). The other trig co-functions are secant and cosecant, and tangent and cotangent.

The function value of an angle is equal to the co-function of its complement (the co-co rule).

Thus for sine and cosine we have

sin(90∘−θ)cos(90∘−θ)==cosθsinθ

(9)

EXERCISE 3: Co-co rule

Write each of the following in terms of 40∘ using sin(90∘−θ)=cosθ and cos(90∘−θ)=sinθ.

  1. cos50∘
  2. sin320∘
  3. cos230∘

[ SHOW SOLUTION ]

Function Values of (θ−90∘)

sin(θ−90∘)=−cosθ and cos(θ−90∘)=sinθ.

These results may be proved as follows:

sin(θ−90∘)===sin[−(90∘−θ)]−sin(90∘−θ)−cosθ

(10)

and likewise for cos(θ−90∘)=sinθ

Summary

The following summary may be made

 

second quadrant (180∘−θ) or (90∘+θ)            first quadrant (θ) or (90∘−θ)

sin(180∘−θ)=+sinθ      all trig functions are positive

cos(180∘−θ)=−cosθ     sin(360∘+θ)=sinθ

tan(180∘−θ)=−tanθ     cos(360∘+θ)=cosθ

sin(90∘+θ)=+cosθ       tan(360∘+θ)=tanθ

cos(90∘+θ)=−sinθ       sin(90∘−θ)=sinθ

            cos(90∘−θ)=cosθ

third quadrant (180∘+θ)          fourth quadrant (360∘−θ)

sin(180∘+θ)=−sinθ      sin(360∘−θ)=−sinθ

cos(180∘+θ)=−cosθ     cos(360∘−θ)=+cosθ

tan(180∘+θ)=+tanθ     tan(360∘−θ)=−tanθ

 

TIP:

These reduction formulae hold for any angle θ. For convenience, we usually work with θ as if it is acute, i.e. 0∘<θ<90∘.

When determining function values of 180∘±θ, 360∘±θ and −θ the functions never change.

When determining function values of 90∘±θ and θ−90∘ the functions changes to its co-function (co-co rule).

Function Values of (270∘±θ)

Angles in the third and fourth quadrants may be written as 270∘±θ with θ an acute angle. Similar rules to the above apply. We get

 

third quadrant (270∘−θ)          fourth quadrant (270∘+θ)

sin(270∘−θ)=−cosθ     sin(270∘+θ)=−cosθ

cos(270∘−θ)=−sinθ     cos(270∘+θ)=+sinθ

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